Objectifs par rapport aux acquis d'apprentissage du programme

• Comprendre de manière profonde les mathématiques " élémentaires ".
• Pouvoir utiliser les espaces vectoriels, les applications linéaires et les techniques qui leur sont associées.
• Comprendre et pouvoir utiliser la théorie naïve des ensembles.
• Comprendre les structures algébriques de base.
• Manipuler les acquis antérieurs qui interviennent dans une question.
• Etre capable de donner des exemples et des contre-exemples (pour les définitions, les propriétés, les théorèmes,...)
• Comprendre et produire des raisonnements rigoureux en mathématiques.
• Etre capable de rédiger dans une expression claire et concise.
• Pouvoir utiliser le vocabulaire mathématique et le formalisme à bon escient.
• Etre capable de donner du sens à des expressions formelles.
• Etre capable de s'appuyer sur un dessin pour éclairer une notion, un raisonnement,...
• Résoudre des problèmes nouveaux.
• Capacité à l'abstraction, à la manipulation de théories formelles et à l'utilisation de celles-ci pour résoudre des problèmes.
• Etre capable d'adapter un argument à une situation similaire.
• Utiliser les connaissances issues de différents domaines pour traiter des questions.

Acquis d'apprentissage de l'UE

Résultats de structure en algèbre linéaire : réduction des endomorphismes et théorie spectrale dans les espaces euclidiens.
L'objectif de ce cours est de développer la théorie algébrique des algèbres d'endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie, éventuellement munis d'une forme bilinéaire symétrique définie.

Contenu de l'UE : descriptif et cohérence pédagogique

Dualité, forme bilinéaire symétrique, représentation matricielle, non-dégénérescence, orthogonalité, endomorphisme transposé, automorphisme, base orthogonale, forme définie, procédé de Gram-Schmidt. Espace euclidien, norme, base orthonormale.

Diagonalisation, valeur propre, vecteur propre, polynôme caractéristique, sous-espaces propres, trigonalisation, théorème de Cayley-Hamilton, sous-espaces caractéristiques, polynôme minimal, théorème spectral.



 

Compétences préalables

Cours d'Algèbre linéaire et géométrie I.